Local precised approximation in multiscale problems with local defects

Approximation locale précisée dans des problèmes multi-échelles avec défauts localisés

Xavier Blanc (1) , Marc Josien (2) , Claude Le Bris (2)

1 LJLL (UMR_7598) - Laboratoire Jacques-Louis Lions
2 MATHERIALS - MATHematics for MatERIALS

We proceed here with our systematic study, initiated in [3], of multiscale problems with defects, within the context of homogenization theory. The case under consideration here is that of a diffusion equation with a diffusion coefficient of the form of a periodic function perturbed by an $L^r (R^d ) , 1 < r < +∞$ , function modeling a localized defect. We outline the proof of the following approximation result: the corrector function, the existence of which has been established in [3,4], allows to approximate the solution of the original multiscale equation with essentially the same accuracy as in the purely periodic case. The rates of convergence may however vary, and are made precise, depending upon the $L^r$ integrability of the defect. The generalization to an abstract setting is mentioned. Our proof exactly follows, step by step, the pattern of the original proof of Avellaneda and Lin in [1] in the periodic case, extended in the works of Kenig and collaborators [13], and borrows a lot from it. The details of the results announced in this Note are given in our forthcoming publications [2,12].

Nous poursuivons l'étude initiée dans [3] de problèmes multi-échelles avec défauts, dans le cadre de la théorie de l'homogénéisation, spécifiquement ici pour une équation de diffusion avec un coefficient de la forme fonction périodique perturbée par une fonction $L^r (R^d), 1 < r < +∞$, modélisant un défaut local. Nous esquissons la démonstration du fait que le correcteur, dont l'existence a été prouvée dans [3,4], permet d'approcher la fonction solution de l'équation originale avec la même précision, essentiellement, que dans le cas purement périodique. Les taux de convergence varient, et sont précisés, en fonction de l'intégrabilité $L^r$ du défaut. Une extension à un cas abstrait "général" est mentionnée. Les résultats annoncés dans cette Note seront précisés dans les documents [2,12] en préparation.

Mots clés: Elliptic pdes; Homogenization

Domaines: Architectures Matérielles [cs.AR]

Xavier Blanc, Marc Josien, Claude Le Bris. Approximation locale précisée dans des problèmes multi-échelles avec défauts localisés. Comptes Rendus. Mathématique, 2019, ⟨10.1016/j.crma.2018.12.005⟩. ⟨hal-01893991v2⟩