Sur l'inversion de l'opérateur de Ricci au voisinage d'une métrique Ricci parallèle

Erwann Delay (1)

1 LMA - EA2151 Laboratoire de Mathématiques d'Avignon

Let $(M,g)$ be a compact riemannian manifold without boundary. Under some natural conditions on the curvature, the Lichnerowicz Laplacian $\Delta_L$ is non negative and its kernel is reduced to parallel tensors. We assume that the Ricci curvature is non degenerate and parallel, and that the first Betti number vanishes. We show that for all $R$ close enough to the Ricci tensor of $g$, there exist a metric close to $g$ with Ricci curvature is $R$, up to an additionnal small element in $\ker\Delta_L$. We then give some examples of products of Einstein manifolds that satisfies the hypothesis. We also study the Ricci contravariant operator together with some other curvature operators.

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne compacte sans bord. Sous certaines conditions naturelles sur la courbure, le Laplacien de Lichnerowicz $\Delta_L$ est positif et son noyau est réduit aux tenseurs parallèles. On suppose que la courbure de Ricci est non dégénérée et parallèle, et que le premier nombre de Betti est nul. On montre que pour tout $R$ proche du tenseur de Ricci de $g$, il existe une métrique proche de $g$ dont la courbure de Ricci vaut $R$ à l'addition d'un petit élément de $\ker\Delta_L$ près. On donne ensuite des exemples de produits de variétés d'Einstein qui vérifient les hypothèses. On traite aussi de l'opérateur de Ricci contravariant ainsi que d'autres opérateurs de courbure.

Mots clés: Courbure de Ricci; variété produit; métriques d'Einstein; 2-tenseurs symétriques; EDP elliptique quasi-linéaire

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Erwann Delay. Sur l'inversion de l'opérateur de Ricci au voisinage d'une métrique Ricci parallèle. 2014. ⟨hal-00974707v1⟩